[2016년 세원고]

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[1학년 2학기 기말 수2]

수열 [eqn: 2,```5,```8,```11,``` CDOTS]의 일반항 [eqn: left{a _{n} right}]을 구하면? [4.3점]

⑤

① [eqn: a_n =2n+3]	② [eqn: a_n =-3n +5]	③ [eqn: a_n =5n-3]

④ [eqn: a_n =-2n +4]	⑤ [eqn: a_n =3n-1]

첫째항이 [eqn: 2]이고 공비가 [eqn: 2]인 등비수열에서 최초로 [eqn: 2000]보다 커지는 항은 몇 째 항부터인가? [4.점]

②

① [eqn: 10]째항	② [eqn: 11]째항	③ [eqn: 12]째항

④ [eqn: 13]째항	⑤ [eqn: 14]째항

[eqn: 0], [eqn: a], [eqn: b]가 이 순서로 등차수열을 이루고, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: 8]이 순서대로 등비수열을 이룬다고 할 때, [eqn: a+b]의 값은? [4.5점]

②

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

공비가 [eqn: 1]이 아닌 등비수열의 첫째항부터 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: S _{10} =80], [eqn: S_20 =100]이라 할 때, [eqn: S_30]의 값을 구하면? [4.7점]

①

① [eqn: 105]	② [eqn: 110]	③ [eqn: 120]

④ [eqn: 130]	⑤ [eqn: 150]

[eqn: a_1 =2cdot3], [eqn: a_2 =3cdot6], [eqn: a_3 =4 cdot9], [eqn: cdots]인 수열의 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지의 합 [eqn: S_10]의 값을 구하면? [4.8점]

②

① [eqn: 1210]	② [eqn: 1320]	③ [eqn: 1452]

④ [eqn: 6138]	⑤ [eqn: 59048]

첫째항이 [eqn: 900], 공차가 [eqn: -10]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여
[eqn: sum_k=1^40 1 over {root a_2k-1 +root a_2k+1 }]의 값은? [4.9점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 20]

첫째항 [eqn: a_1 =19], 공차 [eqn: d]가 정수인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_7 cdot a_8 <0]을 만족한다고 한다. 이 수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: S_n ge0]을 만족하는 [eqn: n]의 최댓값을 구하면? [5.0점]

③

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

수열 [eqn: left{a_n right}]은 [eqn: a_1 =11]이고, 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: sum_k=1^14 a_k =52]일 때, [eqn: a_2]의 값을 구하면? [5.7점]

(가) [eqn: a_n+2 = a_n -5 (n=1,```2,```3,```4)]
(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n+6 =a_n]이다.

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

첫째항이 [eqn: 10]이고, 공비가 [eqn: root10]인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여
[eqn: sum_k=1^100 log `a_2k -sum_k=1^100 log`a_2k-1]의 값은? [5.4점]

③

① [eqn: 25]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 50]

④ [eqn: 75]	⑤ [eqn: 100]

[eqn: 10^t =2]일 때, [eqn: log_125 4]를 [eqn: t]로 나타내면? [4.6점]

⑤

① [eqn: 2t over 3(2+t)]	② [eqn: 2t over 3(1+2t)]	③ [eqn: 2t over 3(1-2t)]

④ [eqn: 2t over 3(1+t)]	⑤ [eqn: 2t over 3(1-t)]

[eqn: a>1]일 때, [eqn: root {a{root 3 of {a root 4 of a }}} =root 4 of {a root 3 of a^k }]을 만족하는 유리수 [eqn: k]의 값을 구하면? [4.8점]

④

① [eqn: 3 over2]	② [eqn: 5 over2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 11 over2]	⑤ [eqn: 13 over2]

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_n = 2 ^{1 over n(n+1)}]일 때,
[eqn: a_1 times a_2 times a_3 times cdots times a_50 = 2^{t over s}]
을 만족하는 [eqn: s], [eqn: t]의 값이 있을 때, [eqn: s-t]의 값을 구하면? (단, [eqn: s], [eqn: t]는 서로소인 자연수) [5.1점]

③

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)=2^-x]에 대하여 [eqn: f(2s)f(t)=4], [eqn: f(s-t)=2]일 때,
[eqn: 2 ^{3s} +2 ^{3t}]의 값은 [eqn: {n} over {m}]이다. [eqn: m-n]의 값을 구하면? [5.2점]

①

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

수열 {[eqn: a _{n}]}에 대하여 [eqn: a _{n} =log _{3} (1+ {1} over {n} )]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{26} a _{n}]의 값을 구하면? [5.3점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {k} over {a _{k}} =n ^{2} +n]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{20} ka _{k}]의 값을 구하면? [5.5점]

④

① [eqn: 90]	② [eqn: 95]	③ [eqn: 100]

④ [eqn: 105]	⑤ [eqn: 110]

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: {rmP}_n]을 다음 규칙에 따라 정한다.

예를 들면 [eqn: rmP _{2} LEFT ( 1,```1 RIGHT )], [eqn: rmP _{3} (1,```2)], [eqn: rmP _{4} LEFT ( 2,```2) RIGHT .]이다. 위의 규칙에 따라 정해진 점 [eqn: {rmP} _{21} LEFT ( a _{21} ,```b _{21} RIGHT )]에 대해, [eqn: a _{21} -b _{21}]의 값을 구하면? [5.8점]

(가) 점 [eqn: rmP _{1}]의 좌표는 [eqn: (1,```0)]이다.

(나) 점 [eqn: {rmP}_n]의 좌표가 [eqn: (a _{n} ,```b _{n} )]일 때, [eqn: b _{n} > sqrt {a _{n} +1}]이면

점 [eqn: {rmP} _{n+1}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( a _{n} +1,```b _{n} RIGHT )]이고 [eqn: b _{n} LEQ sqrt {a _{n} +1}]

이면 점 [eqn: {rmP} _{n+1}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( a _{n} ,```b _{n} +1 RIGHT )]이다.

③

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

서술형

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이
[eqn: S _{n} =n ^{2} +2n+3]일 때, 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하시오. [4.0점]

[eqn: a _{n} = {cases{6&```(n=1)#2n+1&```(n GEQ 2)}}]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: 1+3+5+ CDOTS + LEFT ( 2n-1 RIGHT ) =n ^{2} ```CDOTS CDOTS P(n)]
이 성립합을 증명해 보자.

위의 과정에서 [eqn: box { ````````````````````````}]에 들어가야 하는 것을 적으시오. [4.0점]

(i) [eqn: n=1]일 때, [eqn: (좌변)=1], [eqn: (우변)=1^2 =1]
이므로 [eqn: P(1)]이 성립한다.

(ii) [eqn: BOX{``````````(가)``````````}]일 때 [eqn: P(n)]이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1+3+5+ CDOTS + LEFT ( 2k-1 RIGHT ) =k ^{2}]

이다. 등호의 좌우변에 [eqn: BOX{`````(나)`````}]를 더하면

[eqn: 1+3+5+ CDOTS + LEFT ( 2k-1 RIGHT ) + BOX{`````(나)`````} `=k ^{2} + BOX{`````(나)`````}## ```````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````= BOX{``````````(다)`````````}]

이 성립한다. 따라서 [eqn: box {````` (라)`````}]일 때도 [eqn: P(n)]이

성립한다.

따라서 (i), (ii)가 성립하므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: P(n)]이 성립함을 알 수 있다.

(가) [eqn: n=k]

(나) [eqn: 2k+1]

(다) [eqn: (k+1) ^{2}]

(라) [eqn: n=k+1]

[eqn: 30%] 농도의 소금물 [eqn: 200rmg]에서 [eqn: 50rmg]의 소금물을 퍼내고 여기에 [eqn: 10%] 농도의 소금물 [eqn: 50rmg]을 다시 넣는 시행을 한 번 했을 때 소금물의 농도를 [eqn: a _{1} %]라고 하고, 같은 작업을 [eqn: n]번 시행했을 때의 소금물의 농도를 [eqn: a _{n} %]라고 하자. 이 때, [eqn: a _{1}]의 값과 [eqn: a _{n}]과 [eqn: a _{n+1}]의 관계식을 구하시오. [6.0점]

[eqn: a _{1} =25], [eqn: a _{n+1} = {3} over {4} a _{n} + {5} over {2}]

[eqn: log2]가 무리수임을 이용하여 등식 [eqn: s log20+ {t} over {log _{8} 100} +3=0]을 만족시키는 유리수 [eqn: s,````t]의 값을 정할 때, [eqn: s-t]의 값을 구하여라. [6.0점]

[eqn: -5]

[eqn: s=-3], [eqn: t=2]

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[1학년 2학기 기말 수2]

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